Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{9} x^{2} + 2$ , $x \geq 0$

Etapa 1

Encontre o intervalo da função determinada.

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Etapa 1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

$[2, \infty)$

Etapa 1.2

Converta $[2, \infty)$ em uma desigualdade.

$y \geq 2$

Etapa 2

Encontre o inverso.

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Etapa 2.1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{9} y^{2} + 2$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$ .

$\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$

Etapa 2.2.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{9} + 2 = x$

Etapa 2.2.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{9} = x - 2$

Etapa 2.2.4

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Etapa 2.2.5

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.2.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Etapa 2.2.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 9 (x - 2)$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.5.2.1

Simplifique $9 (x - 2)$ .

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Etapa 2.2.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 9 x + 9 \cdot - 2$

Etapa 2.2.5.2.1.2

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$y^{2} = 9 x - 18$

Etapa 2.2.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{9 x - 18}$

Etapa 2.2.7

Simplifique $\pm \sqrt{9 x - 18}$ .

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Etapa 2.2.7.1

Fatore $9$ de $9 x - 18$ .

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Etapa 2.2.7.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$y = \pm \sqrt{9 (x) - 18}$

Etapa 2.2.7.1.2

Fatore $9$ de $- 18$ .

$y = \pm \sqrt{9 x + 9 \cdot - 2}$

Etapa 2.2.7.1.3

Fatore $9$ de $9 x + 9 \cdot - 2$ .

$y = \pm \sqrt{9 (x - 2)}$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} (x - 2)}$

Etapa 2.2.7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm 3 \sqrt{x - 2}$

Etapa 2.2.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

Etapa 2.2.8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Etapa 2.2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Etapa 2.3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, - 3 \sqrt{x - 2}$

Etapa 3

Encontre o inverso usando o domínio e o intervalo da função original.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, x \geq 2$

Etapa 4