Álgebra Exemplos

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Etapa 1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 x + 9}$ como ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ como $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ .

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Etapa 3.3.1.2

Expanda $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Etapa 3.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Etapa 3.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.5

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.3.1.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Etapa 3.3.1.3.2

Subtraia $24 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Etapa 4.2

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Etapa 4.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Etapa 4.4

Combine os termos opostos em $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

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Etapa 4.4.1

Subtraia $9$ de $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Etapa 4.4.2

Some $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 4.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.5.1

Fatore $16 x$ de $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ .

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Etapa 4.5.1.1

Fatore $16 x$ de $64 x^{4}$ .

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Etapa 4.5.1.2

Fatore $16 x$ de $- 48 x^{2}$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Etapa 4.5.1.3

Fatore $16 x$ de $- 16 x$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Etapa 4.5.1.4

Fatore $16 x$ de $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Etapa 4.5.1.5

Fatore $16 x$ de $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Etapa 4.5.2

Fatore $4 x^{3} - 3 x - 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.5.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 4.5.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Etapa 4.5.2.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.5.2.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Etapa 4.5.2.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Etapa 4.5.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Etapa 4.5.2.3.4

Multiplique $- 3$ por $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Etapa 4.5.2.3.5

Some $- 0.5$ e $1.5$ .

$1 - 1$

Etapa 4.5.2.3.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 4.5.2.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Etapa 4.5.2.5

Divida $4 x^{3} - 3 x - 1$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 4.5.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Etapa 4.5.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Etapa 4.5.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Etapa 4.5.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 4.5.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 4.5.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Etapa 4.5.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.5.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Etapa 4.5.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Etapa 4.5.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Etapa 4.5.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Etapa 4.5.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Etapa 4.5.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Etapa 4.5.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - x - 1$

Etapa 4.5.2.6

Escreva $4 x^{3} - 3 x - 1$ como um conjunto de fatores.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.5.3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.5.3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 4.5.3.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.5.3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Etapa 4.5.3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Etapa 4.5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.4

Fatore.

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Etapa 4.5.4.1

Combine como fatores.

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Etapa 4.5.4.1.1

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.4.1.2

Eleve $2 x + 1$ à potência de $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.4.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.4.1.4

Some $1$ e $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Etapa 4.5.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Etapa 4.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.7

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.8

Defina ${(2 x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Defina ${(2 x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.8.2

Resolva ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 4.8.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 4.8.2.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.8.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.8.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.8.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.8.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 4.9

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.10

A solução final são todos os valores que tornam $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ verdadeira.

$x = 1$