Álgebra Exemplos

${(4 + 3 y)}^{4}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(4 + 3 y)}^{4}$ , $n = 4$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $5$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $4$ e $b$ $3 y$ na expressão.

$1 {(4)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(4)}^{4}$ por $1$ .

${(4)}^{4} {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 {(3 y)}^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.3

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$256 (3^{0} y^{0}) + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$256 (1 y^{0}) + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.5

Multiplique $y^{0}$ por $1$ .

$256 y^{0} + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$256 \cdot 1 + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.7

Multiplique $256$ por $1$ .

$256 + 4 {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.8

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

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Etapa 4.8.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$256 + 4^{1} {(4)}^{3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 + 4^{1 + 3} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.8.2

Some $1$ e $3$ .

$256 + 4^{4} {(3 y)}^{1} + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.9

Simplifique $4^{4} {(3 y)}^{1}$ .

$256 + 4^{4} (3 y) + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.10

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 + 256 (3 y) + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.11

Multiplique $3$ por $256$ .

$256 + 768 y + 6 {(4)}^{2} {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.12

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$256 + 768 y + 6 \cdot 16 {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.13

Multiplique $6$ por $16$ .

$256 + 768 y + 96 {(3 y)}^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.14

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$256 + 768 y + 96 (3^{2} y^{2}) + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.15

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$256 + 768 y + 96 (9 y^{2}) + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.16

Multiplique $9$ por $96$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 4 {(4)}^{1} {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.17

Avalie o expoente.

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 4 \cdot 4 {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.18

Multiplique $4$ por $4$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 {(3 y)}^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.19

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 (3^{3} y^{3}) + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.20

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 16 (27 y^{3}) + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.21

Multiplique $27$ por $16$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 1 {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(4)}^{0}$ por $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + {(4)}^{0} {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.23

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 1 {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(3 y)}^{4}$ por $1$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + {(3 y)}^{4}$

Etapa 4.25

Aplique a regra do produto a $3 y$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 3^{4} y^{4}$

Etapa 4.26

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$256 + 768 y + 864 y^{2} + 432 y^{3} + 81 y^{4}$