Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 5) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Etapa 1.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Etapa 1.3.2

Some $5 x$ e $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2$ de $10 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Etapa 1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Etapa 2

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Etapa 5.2

Subtraia $18$ de $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Etapa 6

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 7

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 7.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Etapa 7.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Etapa 7.3

Simplifique $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Etapa 7.3.2

Divida $5$ por $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Etapa 7.3.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$x = - 5$

Etapa 8

Avalie $f (- 5)$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Combine frações.

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Etapa 8.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Etapa 8.2.1.2.2

Some $25$ e $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Etapa 8.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Etapa 8.2.2.2

Divida $32$ por $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Etapa 8.2.3

Some $- 25$ e $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 9$ .

$- 9$

Etapa 9

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(- 5, - 9)$

Etapa 10