Álgebra Exemplos

$\frac{k}{x^{n}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $k$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $\frac{k}{x^{n}}$ em relação a $n$ é $k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$ .

$k \frac{d}{d n} [\frac{1}{x^{n}}]$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{n}}$ como ${(x^{n})}^{- 1}$ .

$k \frac{d}{d n} [{(x^{n})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{n})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{n \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- 1 \cdot n}]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $- 1 n$ como $- n$ .

$k \frac{d}{d n} [x^{- n}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = - n$ .

$k (\frac{d}{d n} [x] (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $x$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $x$ em relação a $n$ é $0$ .

$k (0 (- n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$k (0 (n x^{- n - 1}) + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3.2.2

Multiplique $n$ por $0$ .

$k (0 x^{- n - 1} + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3.2.3

Multiplique $0$ por $x^{- n - 1}$ .

$k (0 + \frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x))$ .

$k (\frac{d}{d n} [- n] (x^{- n} \ln (x)))$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $n$ , a derivada de $- n$ em relação a $n$ é $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$k (- \frac{d}{d n} [n]) (x^{- n} \ln (x))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é $n \cdot n^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$k (- 1 \cdot 1) (x^{- n} \ln (x))$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$k \cdot - 1 (x^{- n} \ln (x))$

Etapa 3.5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $k$ .

$- 1 \cdot k (x^{- n} \ln (x))$

Etapa 3.5.3

Reescreva $- 1 k$ como $- k$ .

$- k (x^{- n} \ln (x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $- k x^{- n} \ln (x)$ .

$- x^{- n} k \ln (x)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $- x^{- n} k \ln (x)$ .

$- k x^{- n} \ln (x)$