Álgebra Exemplos

$4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = {(8 y + 24)}^{- 1}$ .

$4 (y \frac{d}{d y} [{(8 y + 24)}^{- 1}] + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = 8 y + 24$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 y + 24$ .

$4 (y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (y (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 y + 24$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 y + 24$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.2

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 y$ em relação a $y$ é $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.5

Como $24$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $24$ em relação a $y$ é $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + 0)) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $8$ e $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \cdot 8) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \cdot 1)$

Etapa 4.8

Multiplique ${(8 y + 24)}^{- 1}$ por $1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2})) + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$- 32 y {(8 y + 24)}^{- 2} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $8$ de $8 y + 24$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $8$ de $8 y$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y) + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $8$ de $24$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 8 \cdot 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $8$ de $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y + 3))}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra do produto a $8 (y + 3)$ .

$- 32 y \frac{1}{8^{2} {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.2.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- 32 y \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $32$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $32$ de $- 32 y$ .

$32 (- y) \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $32$ de $64 {(y + 3)}^{2}$ .

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.3.4

Reescreva a expressão.

$- y \frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.4

Combine $\frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}}$ e $y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Etapa 5.3.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 24}$

Etapa 5.3.6

Fatore $8$ de $8 y + 24$ .

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Etapa 5.3.6.1

Fatore $8$ de $8 y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y) + 24}$

Etapa 5.3.6.2

Fatore $8$ de $24$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 8 \cdot 3}$

Etapa 5.3.6.3

Fatore $8$ de $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y + 3)}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.7.1

Fatore $4$ de $8 (y + 3)$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Etapa 5.3.7.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Etapa 5.3.7.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 (y + 3)}$