Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Determine se a função é ímpar, par ou nenhum dos dois para encontrar a simetria.

1. Se ímpar, a função será simétrica em relação à origem.

2. Se par, a função será simétrica em relação ao eixo y.

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 15$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = \frac{(x - 5) (x + 3)}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 5) (x + 3)}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 3

Encontre $f (- x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre $f (- x)$ substituindo $- x$ por todas as ocorrências de $x$ em $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 5) ((- x) + 3)}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Etapa 3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{(- (x) - 5) (- x + 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 5) (- x + 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$f (- x) = \frac{- (x + 5) (- x + 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.5

Reescreva $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 5) (- x + 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 5) (- (x) + 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.7

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 5) (- (x) - 1 \cdot - 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 5) (- (x - 3))}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Reescreva $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$f (- x) = \frac{- 1 (x + 5) (- 1 (x - 3))}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = \frac{1 (x + 5) (x - 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.11

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.12

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.13

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.14

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Etapa 3.15

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.16

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Etapa 3.17

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.17.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Etapa 3.17.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Etapa 3.17.3

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 5) (x - 3)}{(x - 1) (x + 1)}$

Etapa 4

Uma função será par se $f (- x) = f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Verifique se $f (- x) = f (x)$ .

Etapa 4.2

Como $\frac{(x + 5) (x - 3)}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$ , a função não é par.

A função não é par

Etapa 5

Uma função será ímpar se $f (- x) = - f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.2

Como $\frac{(x + 5) (x - 3)}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x - 1)}$ , a função não é ímpar.

A função não é ímpar

Etapa 6

A função não é ímpar nem par

Etapa 7

Como a função não é ímpar, ela não é simétrica em relação à origem.

Nenhuma simetria de origem

Etapa 8

Como a função não é par, ela não é simétrica em relação ao eixo y.

Não há simetria do eixo y

Etapa 9

Como a função não é ímpar nem par, não há simetria em relação à origem/ao eixo y.

A função não é simétrica

Etapa 10