Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 1

Determine se a função é ímpar, par ou nenhum dos dois para encontrar a simetria.

1. Se ímpar, a função será simétrica em relação à origem.

2. Se par, a função será simétrica em relação ao eixo y.

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 (x) - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 2$ mais $5$

$f (x) = \frac{2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = \frac{2 x (x - 1) + 5 (x - 1)}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{2 x^{2} - 5 x}$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $2 x^{2} - 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) - 5 x}$

Etapa 2.2.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x) + x \cdot - 5}$

Etapa 2.2.3

Fatore $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Etapa 3

Encontre $f (- x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre $f (- x)$ substituindo $- x$ por todas as ocorrências de $x$ em $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 1) (2 (- x) + 5)}{(- x) (2 (- x) - 5)}$

Etapa 3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (2 (- x) - 5)}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{- x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- x) = - \frac{(- x - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.6

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 2 x + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) + 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.8

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Reescreva $- (2 x - 5)$ como $- 1 (2 x - 5)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 1) (- 1 (2 x - 5))}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{1 (x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.10.3

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 2 x - 5)}$

Etapa 3.11

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 5)}$

Etapa 3.12

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x) - 1 \cdot 5)}$

Etapa 3.13

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- (2 x + 5))}$

Etapa 3.14

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.14.1

Reescreva $- (2 x + 5)$ como $- 1 (2 x + 5)$ .

$f (- x) = - \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (- 1 (2 x + 5))}$

Etapa 3.14.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Etapa 3.14.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = 1 (\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)})$

Etapa 3.14.4

Multiplique $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$

Etapa 4

Uma função será par se $f (- x) = f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Verifique se $f (- x) = f (x)$ .

Etapa 4.2

Como $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , a função não é par.

A função não é par

Etapa 5

Uma função será ímpar se $f (- x) = - f (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$

Etapa 5.2

Como $\frac{(x + 1) (2 x - 5)}{x (2 x + 5)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 1) (2 x + 5)}{x (2 x - 5)}$ , a função não é ímpar.

A função não é ímpar

Etapa 6

A função não é ímpar nem par

Etapa 7

Como a função não é ímpar, ela não é simétrica em relação à origem.

Nenhuma simetria de origem

Etapa 8

Como a função não é par, ela não é simétrica em relação ao eixo y.

Não há simetria do eixo y

Etapa 9

Como a função não é ímpar nem par, não há simetria em relação à origem/ao eixo y.

A função não é simétrica

Etapa 10