Álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 28000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.5

Como $28000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28000$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2.6

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 28000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.3.2

Fatore $4$ de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Etapa 2.8.3.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Etapa 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 7000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.3.4

Como $- 7000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7000$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.3.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.5

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Etapa 3.7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Etapa 3.7.2

Fatore $x$ de $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Etapa 3.7.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x^{3} - 7000) x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Etapa 3.7.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Etapa 3.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Etapa 3.9

Combine $4$ e $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Etapa 3.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Etapa 3.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Etapa 3.10.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Etapa 3.10.3.1.3

Multiplique $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Etapa 3.10.3.1.3.2

Multiplique $4$ por $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Etapa 3.10.3.2

Subtraia $8 x^{3}$ de $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Etapa 3.10.4

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 56000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Etapa 3.10.4.2

Fatore $4$ de $56000$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Etapa 3.10.4.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 28000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Como $28000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28000$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 28000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.3.2

Fatore $4$ de $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Etapa 5.1.8.3.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $4 (x^{3} - 7000) = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Divida cada termo em $4 (x^{3} - 7000) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.2.1.2

Divida $x^{3} - 7000$ por $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Etapa 6.3.2

Some $7000$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 7000$

Etapa 6.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Etapa 6.3.4

Simplifique $\sqrt[3]{7000}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Reescreva $7000$ como $10^{3} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1.1

Fatore $1000$ de $7000$ .

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Etapa 6.3.4.1.2

Reescreva $1000$ como $10^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Etapa 6.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 7.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $1000$ por $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.1.5

Some $7000$ e $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Etapa 10.2.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Etapa 10.2.3

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 10.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 10.2.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 10.2.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 10.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Etapa 10.2.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $4$ por $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $1000$ por $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Etapa 10.3.3

Divida $84000$ por $7000$ .

$12$

Etapa 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $10 \sqrt[3]{7}$ na expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Fatore $2$ de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.1.2

Fatore $2$ de $28000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.1.3

Fatore $2$ de $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Fatore $2$ de $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Etapa 12.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Etapa 12.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Aplique a regra do produto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.3.5

Avalie o expoente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.4

Multiplique $1000$ por $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.2.5

Some $7000$ e $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.3

Cancele o fator comum de $21000$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Fatore $5$ de $21000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Etapa 12.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Etapa 12.2.4

Multiplique $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Etapa 12.2.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Multiplique $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Etapa 12.2.5.2

Eleve $\sqrt[3]{7}$ à potência de $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Etapa 12.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Etapa 12.2.5.4

Some $1$ e $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Etapa 12.2.5.5

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{7}$ como $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 12.2.5.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 12.2.5.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 12.2.5.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 12.2.5.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Etapa 12.2.5.5.5

Avalie o expoente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Etapa 12.2.6

Cancele o fator comum de $4200$ e $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.1

Fatore $7$ de $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Etapa 12.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.6.2.1

Fatore $7$ de $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Etapa 12.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Etapa 12.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Etapa 12.2.6.2.4

Divida $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ por $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Etapa 12.2.7

Reescreva ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ como $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Etapa 12.2.8

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Etapa 12.2.9

A resposta final é $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ é um mínimo local

Etapa 14