Álgebra Exemplos

${(p + \frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(p + \frac{1}{p})}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $p$ e $b$ $\frac{1}{p}$ na expressão.

$1 {(p)}^{5} {(\frac{1}{p})}^{0} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(p)}^{5}$ por $1$ .

${(p)}^{5} {(\frac{1}{p})}^{0} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} \frac{1^{0}}{p^{0}} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$p^{5} \frac{1}{p^{0}} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$p^{5} \frac{1}{1} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.5

Divida $1$ por $1$ .

$p^{5} \cdot 1 + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.6

Multiplique $p^{5}$ por $1$ .

$p^{5} + 5 {(p)}^{4} {(\frac{1}{p})}^{1} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.7

Simplifique.

$p^{5} + 5 p^{4} \frac{1}{p} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $p$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $p$ de $5 p^{4}$ .

$p^{5} + p (5 p^{3}) \frac{1}{p} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.8.2

Cancele o fator comum.

$p^{5} + p (5 p^{3}) \frac{1}{p} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.8.3

Reescreva a expressão.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 {(p)}^{3} {(\frac{1}{p})}^{2} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p^{3} \frac{1^{2}}{p^{2}} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p^{3} \frac{1}{p^{2}} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $p^{2}$ .

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Etapa 4.11.1

Fatore $p^{2}$ de $10 p^{3}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + p^{2} (10 p) \frac{1}{p^{2}} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.11.2

Cancele o fator comum.

$p^{5} + 5 p^{3} + p^{2} (10 p) \frac{1}{p^{2}} + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.11.3

Reescreva a expressão.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + 10 {(p)}^{2} {(\frac{1}{p})}^{3} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.12

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + 10 p^{2} \frac{1^{3}}{p^{3}} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + 10 p^{2} \frac{1}{p^{3}} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.14

Cancele o fator comum de $p^{2}$ .

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Etapa 4.14.1

Fatore $p^{2}$ de $10 p^{2}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + p^{2} \cdot 10 \frac{1}{p^{3}} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.14.2

Fatore $p^{2}$ de $p^{3}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + p^{2} \cdot 10 \frac{1}{p^{2} p} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.14.3

Cancele o fator comum.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + p^{2} \cdot 10 \frac{1}{p^{2} p} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.14.4

Reescreva a expressão.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + 10 \frac{1}{p} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.15

Combine $10$ e $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + 5 {(p)}^{1} {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.16

Simplifique.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + 5 p {(\frac{1}{p})}^{4} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.17

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + 5 p \frac{1^{4}}{p^{4}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.18

Um elevado a qualquer potência é um.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + 5 p \frac{1}{p^{4}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.19

Cancele o fator comum de $p$ .

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Etapa 4.19.1

Fatore $p$ de $5 p$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + p \cdot 5 \frac{1}{p^{4}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.19.2

Fatore $p$ de $p^{4}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + p \cdot 5 \frac{1}{p \cdot p^{3}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.19.3

Cancele o fator comum.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + p \cdot 5 \frac{1}{p \cdot p^{3}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.19.4

Reescreva a expressão.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + 5 \frac{1}{p^{3}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.20

Combine $5$ e $\frac{1}{p^{3}}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + 1 {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.21

Multiplique ${(p)}^{0}$ por $1$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + {(p)}^{0} {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.22

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + 1 {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.23

Multiplique ${(\frac{1}{p})}^{5}$ por $1$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + {(\frac{1}{p})}^{5}$

Etapa 4.24

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{p}$ .

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + \frac{1^{5}}{p^{5}}$

Etapa 4.25

Um elevado a qualquer potência é um.

$p^{5} + 5 p^{3} + 10 p + \frac{10}{p} + \frac{5}{p^{3}} + \frac{1}{p^{5}}$