Álgebra Exemplos

$2 x^{2} - 36 x < - 120$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} - 36 x = - 120$

Etapa 2

Some $120$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 36 x + 120 = 0$

Etapa 3

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 36 x + 120$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 36 x + 120 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2$ de $- 36 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 18 x) + 120 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (- 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 18 x)$ .

$2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 18 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 (x^{2} - 18 x + 60) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} - 18 x + 60)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x^{2} - 18 x + 60$ por $1$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{2} - 18 x + 60 = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 18$ e $c = 60$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 60)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Subtraia $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3

Subtraia $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Etapa 8.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 9 + \sqrt{21}$

Etapa 9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $- 18$ à potência de $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 60$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $60$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $240$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Etapa 9.3

Simplifique $\frac{18 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 9 \pm \sqrt{21}$

Etapa 9.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 9 - \sqrt{21}$

Etapa 10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 9 + \sqrt{21}, 9 - \sqrt{21}$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 9 - \sqrt{21}$

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

$x > 9 + \sqrt{21}$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < 9 - \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 9 - \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 < - 120$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $0$ não é menor do que o lado direito $- 120$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 9$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $9$ na desigualdade original.

$2 {(9)}^{2} - 36 \cdot 9 < - 120$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 162$ é menor do que o lado direito $- 120$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $x > 9 + \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 9 + \sqrt{21}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 16$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $16$ na desigualdade original.

$2 {(16)}^{2} - 36 \cdot 16 < - 120$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 64$ não é menor do que o lado direito $- 120$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falso

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Verdadeiro

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falso

$x < 9 - \sqrt{21}$ Falso

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$ Verdadeiro

$x > 9 + \sqrt{21}$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$9 - \sqrt{21} < x < 9 + \sqrt{21}$

Etapa 14