Álgebra Exemplos

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$

Etapa 1

Defina $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ como igual a $0$ .

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $2$ de $12 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $2$ de $16 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) - 12 x - 18 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) - 18 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $2$ de $- 18$ .

$2 x^{4} + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.1.1.6

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 2 (6 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.1.1.7

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.1.1.8

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Etapa 2.1.1.9

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x - 9) = 0$

Etapa 2.1.2

Reagrupe os termos.

$2 (6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $6 x$ de $6 x^{3} - 6 x$ .

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Etapa 2.1.3.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{3}$ .

$2 (6 x (x^{2}) - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore $6 x$ de $- 6 x$ .

$2 (6 x (x^{2}) + 6 x (- 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.1.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore $u^{2} + 8 u - 9$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 9$ e cuja soma é $8$ .

$- 1, 9$

Etapa 2.1.8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

Etapa 2.1.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.10

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.11

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 2.1.12.1

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Fatore $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.13

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.14.1

Reorganize os termos.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 9)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.14.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 2.1.14.4

Reescreva o polinômio.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.14.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(u + 3)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.15

Fatore.

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Etapa 2.1.15.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2}) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicidade de $2$ )

Etapa 3