Álgebra Exemplos

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{4 - x}$

Etapa 1

Resolva $\frac{1}{2} < x < 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Simplifique.

$x + 3 > {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ como $4 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 3 > {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x + 3 > {(4 - x)}^{1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Simplifique.

$x + 3 > 4 - x$

Etapa 1.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

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Etapa 1.3.1.1

Some $x$ aos dois lados da desigualdade.

$x + 3 + x > 4$

Etapa 1.3.1.2

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 3 > 4$

Etapa 1.3.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 1.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x > 4 - 3$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$2 x > 1$

Etapa 1.3.3

Divida cada termo em $2 x > 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.1

Divida cada termo em $2 x > 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} > \frac{1}{2}$

Etapa 1.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\sqrt{x + 3} - \sqrt{4 - x}$ .

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Etapa 1.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 3 \geq 0$

Etapa 1.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 3$

Etapa 1.4.3

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 - x \geq 0$

Etapa 1.4.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 4$

Etapa 1.4.4.2

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.4.4.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.4.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.4.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.4.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 1.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 3, 4]$

Etapa 1.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 1.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 1.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{4 - (- 6)}$

Etapa 1.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{4 - (0)}$

Etapa 1.6.2.3

O lado esquerdo $1.7320508$ não é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 1.6.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sqrt{(2) + 3} > \sqrt{4 - (2)}$

Etapa 1.6.3.3

O lado esquerdo $2.23606797$ é maior do que o lado direito $1.41421356$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.6.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{4 - (6)}$

Etapa 1.6.4.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 1.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Etapa 2

Use a desigualdade $\frac{1}{2} < x < 4$ para criar a notação do conjunto.

${x | \frac{1}{2} < x < 4}$

Etapa 3