Álgebra Exemplos

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Etapa 2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x \leq 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x \leq 0$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $4 x \leq 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $4 x \leq 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x \leq 0$

Etapa 5

Defina o argumento em $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Etapa 6.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Etapa 6.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva a equação como $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Etapa 6.2.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.2.1.4

Simplifique.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Etapa 6.2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.3.1

Simplifique ${(2^{0})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{0})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.3.3.1.1.2

Multiplique $0$ por $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Etapa 6.2.2.3.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 x = 1$

Etapa 6.2.2.4

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 6.3

Encontre o domínio de $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina o argumento em $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 \sqrt{x} > 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x > 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x > 0$

Etapa 6.3.2.3

Divida cada termo em $4 x > 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Divida cada termo em $4 x > 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Etapa 6.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x > 0$

Etapa 6.3.2.4

Encontre o domínio de $2 \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 6.3.2.4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 6.3.2.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 0$

Etapa 6.3.3

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 6.3.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 6.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Etapa 6.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Etapa 6.5.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.12$

Etapa 6.5.2.2

Substitua $x$ por $0.12$ na desigualdade original.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Etapa 6.5.2.3

O lado esquerdo $- 0.52944684$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.5.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 6.5.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Etapa 6.5.3.3

O lado esquerdo $1.79248125$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{4}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{4}$ Falso

Etapa 6.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 8

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Etapa 9