Álgebra Exemplos

$y = \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = \sin (x)$ e $g (y) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.6

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.7

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.12

Some $1$ e $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.13

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ .

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $- x' \sin^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $x'$ de $x' \cos^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

Etapa 5.4

Reordene $- 1 \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

Etapa 5.5

Fatore.

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Etapa 5.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

Etapa 5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ por $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ por $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x) + \sin (x)$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x) - \sin (x)$ .

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$