Álgebra Exemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x^{8}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{8}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{8}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{8})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Combine $x^{8}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $x^{8}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{8}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.2.2.5

Divida $x^{7}$ por $1$ .

$\frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Etapa 3.4.4.2

Fatore $x^{7}$ de $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Etapa 3.4.4.2.2

Fatore $x^{7}$ de $- 8 \ln (x) x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Etapa 3.4.4.2.3

Fatore $x^{7}$ de $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ .

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Etapa 3.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $x^{7}$ de $x^{16}$ .

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

Etapa 3.6

Simplifique $- 8 \ln (x)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{8})}{x^{9}}$