Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - y^{2}}{(x^{2} - 8 x + 15)} \cdot \frac{y^{2}}{15 (x^{2} - 6 x + 9)}$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{y^{2}}{15 (x^{2} - 6 x + 9)}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 8 x + 15$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 5, - 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + y) (x - y)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{y^{2}}{15 (x^{2} - 6 x + 9)}$

Etapa 3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{y^{2}}{15 (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Etapa 3.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 3.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(x + y) (x - y)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{y^{2}}{15 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Etapa 3.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{(x - 5) (x - 3)} \cdot \frac{y^{2}}{15 {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 4

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x - 5) (x - 3), 15 {(x - 3)}^{2}$

Etapa 5

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 7

$15$ tem fatores de $3$ e $5$ .

$3 \cdot 5$

Etapa 8

Multiplique $3$ por $5$ .

$15$

Etapa 9

O fator de $x - 5$ é o próprio $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 10

O fator de $x - 3$ é o próprio $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 11

Os fatores de $x - 3$ são $(x - 3) \cdot (x - 3)$ , que é $x - 3$ multiplicado por si mesmo por $2$ vezes.

$(x - 3) = (x - 3) \cdot (x - 3)$

$(x - 3)$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 12

O MMC de $x - 5, x - 3, {(x - 3)}^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 5) {(x - 3)}^{2}$

Etapa 13

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$15 (x - 5) {(x - 3)}^{2}$