Álgebra Exemplos

$(5, 3)$ , $(4, - 7)$

Etapa 1

O diâmetro de um círculo é qualquer segmento de linha reta que passa pelo centro do círculo e cujas extremidades estão na circunferência do círculo. Os pontos finais do diâmetro determinados são $(5, 3)$ e $(4, - 7)$ . O ponto central do círculo é o centro do diâmetro, que é o ponto médio entre $(5, 3)$ e $(4, - 7)$ . Nesse caso, o ponto médio é $(\frac{9}{2}, - 2)$ .

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Etapa 1.1

Use a fórmula do ponto médio para encontrar o ponto médio do segmento de reta.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Etapa 1.2

Substitua os valores para $(x_{1}, y_{1})$ e $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{5 + 4}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Etapa 1.3

Some $5$ e $4$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{3 - 7}{2})$

Etapa 1.4

Subtraia $7$ de $3$ .

$(\frac{9}{2}, \frac{- 4}{2})$

Etapa 1.5

Divida $- 4$ por $2$ .

$(\frac{9}{2}, - 2)$

Etapa 2

Encontre o raio $r$ para o círculo. O raio é qualquer segmento de reta do centro do círculo até qualquer ponto de sua circunferência. Nesse caso, $r$ é a distância entre $(\frac{9}{2}, - 2)$ e $(5, 3)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$r = \sqrt{{(5 - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{10 - 9}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $9$ de $10$ .

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 - (- 2))}^{2}}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(3 + 2)}^{2}}$

Etapa 2.3.9

Some $3$ e $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 5^{2}}$

Etapa 2.3.10

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25}$

Etapa 2.3.11

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + 25 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 2.3.12

Combine $25$ e $\frac{4}{4}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{25 \cdot 4}{4}}$

Etapa 2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = \sqrt{\frac{1 + 25 \cdot 4}{4}}$

Etapa 2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.14.1

Multiplique $25$ por $4$ .

$r = \sqrt{\frac{1 + 100}{4}}$

Etapa 2.3.14.2

Some $1$ e $100$ .

$r = \sqrt{\frac{101}{4}}$

Etapa 2.3.15

Reescreva $\sqrt{\frac{101}{4}}$ como $\frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.3.16

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.16.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{101}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.3.16.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = \frac{\sqrt{101}}{2}$

Etapa 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ é a forma de equação de um círculo com raio $r$ e $(h, k)$ como ponto central. Neste caso, $r = \frac{\sqrt{101}}{2}$ e o ponto central são $(\frac{9}{2}, - 2)$ . A equação do círculo é ${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{9}{2}))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} = {(\frac{\sqrt{101}}{2})}^{2}$

Etapa 4

A equação do círculo é ${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$ .

${(x - \frac{9}{2})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = \frac{101}{4}$

Etapa 5