Álgebra Exemplos

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ como uma equação.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 3.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 3.3.4

Subtraia $\ln (2)$ de $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores em $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $- y \ln (2) = \ln (x)$ por $- \ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $- y \ln (2) = \ln (x)$ por $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Etapa 5.3.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique $- \log_{2} (x)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Etapa 5.3.4.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Etapa 5.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$