Álgebra Exemplos

$\frac{x + 6}{x^{2} + 8 x + 15} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Etapa 1

Fatore $x^{2} + 8 x + 15$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $8$ .

$3, 5$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{3 x}{x + 5}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{3 x}{x + 5}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{x - 3}{x + 3}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{x - 3}{x + 3}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - (\frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 5})$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{x - 3}{x + 3}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 2.5

Reordene os fatores de $(x + 5) (x + 3)$ .

$\frac{x + 6}{(x + 3) (x + 5)} + \frac{3 x (x + 3)}{(x + 3) (x + 5)} - \frac{(x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 6 + 3 x (x + 3) - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 3 x \cdot 3 - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x - - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x + (- x + 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.6

Expanda $(- x + 3) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x (x + 5) + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 (x + 5)}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x \cdot x - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - (x \cdot x) - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.7.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.7.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 3 \cdot 5}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.7.1.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 5 x + 3 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 4.7.2

Some $- 5 x$ e $3 x$ .

$\frac{x + 6 + 3 x^{2} + 9 x - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.1

Some $x$ e $9 x$ .

$\frac{10 x + 6 + 3 x^{2} - x^{2} - 2 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 + 3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 15}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.3

Some $6$ e $15$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$

Etapa 5.4

Subtraia $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x + 21}{(x + 3) (x + 5)}$