Álgebra Exemplos

$y + \frac{2 y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Etapa 1

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$y + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 2

Para escrever $y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$y \cdot \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $y$ e $\frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} + \frac{2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Fatore $y$ de $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + 2 y^{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $y$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.1.2

Fatore $y$ de $y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2})) + y (2 y^{2})$ .

$\frac{y ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.2

Expanda $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{y (x \cdot x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y (x^{1 + 2} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{y (x^{3} + x (x y) + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x \cdot x y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y (x y) - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.3.1

Mova $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y \cdot y^{2} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.4.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 4.3.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - (y^{2} y^{1}) + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{2 + 1} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.3.4.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4

Combine os termos opostos em $x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - y x^{2} - y^{2} x - y^{3}$ .

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Etapa 4.4.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{2} y$ e $- y x^{2}$ .

$\frac{y (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4.3

Some $x^{3} + x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y (x^{3} + x y^{2} - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4.4

Reorganize os fatores nos termos $x y^{2}$ e $- y^{2} x$ .

$\frac{y (x^{3} + y^{2} x - y^{2} x - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4.5

Subtraia $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{y (x^{3} + 0 - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Etapa 4.4.6

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{y (x^{3} - y^{3} + 2 y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$