Álgebra Exemplos

$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 81 x - 108$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 9 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Etapa 5

Fatore $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 5$

Etapa 5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 108, \pm 21.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 54, \pm 10.8, \pm 3, \pm 0.6, \pm 36, \pm 7.2, \pm 4, \pm 0.8, \pm 27, \pm 5.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 18, \pm 3.6, \pm 9, \pm 1.8, \pm 12, \pm 2.4$

Etapa 5.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$- 5 \cdot 3^{3} + 81 \cdot 3 - 108$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- 5 \cdot 27 + 81 \cdot 3 - 108$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 5$ por $27$ .

$- 135 + 81 \cdot 3 - 108$

Etapa 5.3.4

Multiplique $81$ por $3$ .

$- 135 + 243 - 108$

Etapa 5.3.5

Some $- 135$ e $243$ .

$108 - 108$

Etapa 5.3.6

Subtraia $108$ de $108$ .

$0$

Etapa 5.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 5 x^{3} + 81 x - 108}{x - 3}$

Etapa 5.5

Divida $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ por $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$81 x$

$108$

Etapa 5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$

Etapa 5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			-	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Etapa 5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Etapa 5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Etapa 5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Etapa 5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Etapa 5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$15 x^{2}$	+	$45 x$

Etapa 5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x^{2} + 45 x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$

Etapa 5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$

Etapa 5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Etapa 5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $36 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Etapa 5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							+	$36 x$	-	$108$

Etapa 5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $36 x - 108$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$

Etapa 5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$
										$0$

Etapa 5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 5 x^{2} - 15 x + 36$

Etapa 5.6

Escreva $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ como um conjunto de fatores.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 6

Fatore $x - 3$ de $x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $x - 3$ de $x^{2} (x + 3) (x - 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 6.2

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3) - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 7

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 3) (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x - 3) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 3) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 8.2

Some $2$ e $1$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 9

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 10

Subtraia $5 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36)$

Etapa 11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Fatore $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 11.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Etapa 11.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Etapa 11.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Etapa 11.1.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 + 36$

Etapa 11.1.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 + 36$

Etapa 11.1.1.3.5

Subtraia $18$ de $27$ .

$9 - 15 \cdot 3 + 36$

Etapa 11.1.1.3.6

Multiplique $- 15$ por $3$ .

$9 - 45 + 36$

Etapa 11.1.1.3.7

Subtraia $45$ de $9$ .

$- 36 + 36$

Etapa 11.1.1.3.8

Some $- 36$ e $36$ .

$0$

Etapa 11.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36}{x - 3}$

Etapa 11.1.1.5

Divida $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ por $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Etapa 11.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$

Etapa 11.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 11.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Etapa 11.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 11.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 11.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Etapa 11.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Etapa 11.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Etapa 11.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	+	$36$

Etapa 11.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x + 36$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$

Etapa 11.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$
										$0$

Etapa 11.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 12$

Etapa 11.1.1.6

Escreva $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ como um conjunto de fatores.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x - 12))$

Etapa 11.1.2

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 11.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) ((x - 3) ((x - 3) (x + 4)))$

Etapa 11.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) ((x - 3) (x - 3) (x + 4))$

Etapa 11.1.3

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 4))$

Etapa 11.1.3.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 4))$

Etapa 11.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 4))$

Etapa 11.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x + 4))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Etapa 12

Multiplique $x - 3$ por ${(x - 3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Multiplique $x - 3$ por ${(x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 12.1.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

${(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Etapa 12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 3)}^{1 + 2} (x + 4)$

Etapa 12.2

Some $1$ e $2$ .

${(x - 3)}^{3} (x + 4)$