Álgebra Exemplos

$x^{6} - 16 x^{2} = 4 x^{4} - 64$

Etapa 1

Subtraia $4 x^{4}$ dos dois lados da equação.

$x^{6} - 16 x^{2} - 4 x^{4} = - 64$

Etapa 2

Some $64$ aos dois lados da equação.

$x^{6} - 16 x^{2} - 4 x^{4} + 64 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$x^{6} - 4 x^{4} - 16 x^{2} + 64 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{6} - 4 x^{4}) - 16 x^{2} + 64 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{4} (x^{2} - 4) - 16 (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x^{2} - 4$ .

$(x^{2} - 4) (x^{4} - 16) = 0$

Etapa 3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 16) = 0$

Etapa 3.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{4} - 16) = 0$

Etapa 3.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 16) = 0$

Etapa 3.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 3.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Etapa 3.9

Fatore.

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Etapa 3.9.1

Simplifique.

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Etapa 3.9.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Etapa 3.9.1.2

Fatore.

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Etapa 3.9.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Etapa 3.9.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 3.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 3.10

Combine expoentes.

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Etapa 3.10.1

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 3.10.2

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 3.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 3.10.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (x^{2} + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 3.10.5

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

${(x + 2)}^{2} ((x - 2) (x - 2)) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 3.10.6

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

${(x + 2)}^{2} ((x - 2) (x - 2)) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 3.10.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 3.10.8

Some $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 7.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 7.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 7.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 7.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 7.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 7.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 7.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 2 i, - 2 i$

Etapa 9