Álgebra Exemplos

$\frac{x}{2 x + 7} = \frac{x - 5}{x - 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x - 5}{x - 1}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{2 x + 7} - \frac{x - 5}{x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x}{2 x + 7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 7} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x - 5}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 7}{2 x + 7}$ .

$\frac{x}{2 x + 7} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x - 5}{x - 1} \cdot \frac{2 x + 7}{2 x + 7} = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 x + 7) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x}{2 x + 7}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{x - 5}{x - 1} \cdot \frac{2 x + 7}{2 x + 7} = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x - 5}{x - 1}$ por $\frac{2 x + 7}{2 x + 7}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{(x - 5) (2 x + 7)}{(x - 1) (2 x + 7)} = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (2 x + 7)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(2 x + 7) (x - 1)} - \frac{(x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x - 1) - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - (x - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x + (- x - - 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x + (- x + 5) (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.7

Expanda $(- x + 5) (2 x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x + 7) + 5 (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x) - x \cdot 7 + 5 (2 x + 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x - x (2 x) - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.8.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.8.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - x - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - x \cdot 7 + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.4

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 10 x + 5 \cdot 7}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.1.6

Multiplique $5$ por $7$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} - 7 x + 10 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.8.2

Some $- 7 x$ e $10 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 x^{2} + 3 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.9

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x + 3 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.10

Some $- x$ e $3 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.5.11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 35 = - 35$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 2.5.11.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11.1.2

Reescreva $2$ como $- 5$ mais $7$

$\frac{- x^{2} + (- 5 + 7) x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 5 x + 7 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.5.11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 5 x) + 7 x + 35}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 5) - 7 (- x - 5)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.5.11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 5$ .

$\frac{(- x - 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.7

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (5)) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{- 1 (x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + 5) (x - 7)}{(2 x + 7) (x - 1)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 5) (x - 7) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 5) (x - 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 7$