Álgebra Exemplos

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x - 1}{x - 2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{x - 1}{x - 2}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Etapa 2.2.5

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - x - - 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - x + 2 + (- x - - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 + (- x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.5

Expanda $(- x + 1) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x (x + 2) + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.4.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.4.6.2

Some $- 2 x$ e $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.5

Some $4$ e $2$ .

$\frac{- x + 6 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.6

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x + 6 - x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.7

Some $6$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$\frac{- 2 u - u^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.8.2.1

Reordene os termos.

$\frac{- u^{2} - 2 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 2.8.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2 u$ .

$\frac{- u^{2} - 2 (u) + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.2.2

Reescreva $- 2$ como $2$ mais $- 4$

$\frac{- u^{2} + (2 - 4) u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- u^{2} + 2 u - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.8.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- u^{2} + 2 u) - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{u (- u + 2) + 4 (- u + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 2$ .

$\frac{(- u + 2) (u + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $- x + 2$ e $x - 2$ .

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Etapa 2.9.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.4

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.5

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9.6

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 2} = 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 4}{x + 2} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 4 = 0$

Etapa 4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$