Álgebra Exemplos

$\frac{18}{x - 4} = 1 + \frac{20}{x + 4}$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{18}{x - 4} - 1 = \frac{20}{x + 4}$

Etapa 1.2

Subtraia $\frac{20}{x + 4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{18}{x - 4} - 1 - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{18}{x - 4} - 1 - \frac{20}{x + 4}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{18}{x - 4} - 1 \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{18}{x - 4} + \frac{- (x - 4)}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{18 - (x - 4)}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{18 - x - - 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{18 - x + 4}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.4.3

Some $18$ e $4$ .

$\frac{- x + 22}{x - 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.5

Para escrever $\frac{- x + 22}{x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{- x + 22}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{20}{x + 4} = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- \frac{20}{x + 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{- x + 22}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{20}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Etapa 2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 4) (x + 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{- x + 22}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{20}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} = 0$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{20}{x + 4}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} - \frac{20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.7.3

Reordene os fatores de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(- x + 22) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(- x + 22) (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Expanda $(- x + 22) (x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x (x + 4) + 22 (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 22 (x + 4) - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot 4 + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 22 x + 22 \cdot 4 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.1.3

Multiplique $22$ por $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 22 x + 88 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2.2

Some $- 4 x$ e $22 x$ .

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 x - 20 \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $- 20$ por $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + 18 x + 88 - 20 x + 80}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.5

Subtraia $20 x$ de $18 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x + 88 + 80}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.6

Some $88$ e $80$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.9.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 168 = - 168$ e cuja soma é $b = - 2$ .

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Etapa 2.9.7.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.2

Reescreva $- 2$ como $12$ mais $- 14$

$\frac{- x^{2} + (12 - 14) x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 12 x - 14 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.9.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} + 12 x) - 14 x + 168}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 12) + 14 (- x + 12)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 12$ .

$\frac{(- x + 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.11

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 12)) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$\frac{- (x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$\frac{- 1 (x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x - 12) (x + 14)}{(x + 4) (x - 4)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 12) (x + 14) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 14 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 4.3

Defina $x + 14$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x + 14$ como igual a $0$ .

$x + 14 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$x = - 14$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 12) (x + 14) = 0$ verdadeiro.

$x = 12, - 14$