Álgebra Exemplos

$f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$

Etapa 1

Defina $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ como igual a $0$ .

$- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 1 + 4 + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.6

Some $- 1$ e $4$ .

$3 + 15 \cdot 1 - 18$

Etapa 2.1.1.3.7

Multiplique $15$ por $1$ .

$3 + 15 - 18$

Etapa 2.1.1.3.8

Some $3$ e $15$ .

$18 - 18$

Etapa 2.1.1.3.9

Subtraia $18$ de $18$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18}{x - 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} - 3 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $18 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $18 x - 18$ .

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$3 x$	+	$18$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$15 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$18 x$	-	$18$
							-	$18 x$	+	$18$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 3 x + 18$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $- x^{3} + 4 x^{2} + 15 x - 18$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (- x^{2} + 3 x + 18) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 3 (x) + 18) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 3$ mais $6$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 6) x + 18) = 0$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 6 x + 18) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 6 x + 18) = 0$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 6 (- x - 3)) = 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 6)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $- x - 3$ como igual a $0$ .

$- x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $- x - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$- x = 3$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$x = - 3$

Etapa 2.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (- x - 3) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3, 6$

Etapa 3