Álgebra Exemplos

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 = 6$

Etapa 1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 - 6 = 0$

Etapa 2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Etapa 3

Reescreva ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ como ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8 = 0$

Etapa 4

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Etapa 5

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ e $b = 2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2}) = 0$

Etapa 6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + 4) = 0$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Etapa 7

Simplifique $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ .

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Etapa 7.1

Expanda $({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2

Simplifique os termos.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.2.1

Mova ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 7.2.1.2.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 7.2.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ por ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.1.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.3.5

Some $1$ e $2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.4

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Etapa 7.2.2

Combine os termos opostos em $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ de $4 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Etapa 7.2.2.2

Some $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ e $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}} - 8 = 0$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Etapa 7.2.2.4

Some $0$ e ${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Etapa 8

Some $8$ aos dois lados da equação.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Etapa 9

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{4}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10

Simplifique o expoente.

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Etapa 10.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.1.1

Simplifique ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 10.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 10.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 10.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} - x - 4)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.1.1.2

Simplifique.

$x^{2} - x - 4 = 8^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

Simplifique $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 10.2.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{2} - x - 4 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Etapa 10.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 10.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - x - 4 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 10.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - x - 4 = 2^{4}$

Etapa 10.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$x^{2} - x - 4 = 16$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $16$ de $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 11.3

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 11.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 11.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 11.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 11.5

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.5.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 11.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 11.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 11.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 11.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$