Álgebra Exemplos

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} = 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$

Etapa 1

Subtraia $81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ dos dois lados da equação.

${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Etapa 2

Simplifique ${(\frac{1}{9})}^{a + 1} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1^{a + 1}}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a} = 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $- 81^{a + 1} \cdot 27^{2 - a}$ .

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Etapa 2.1.3.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - ({(3^{3})}^{2 - a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(3^{3})}^{2 - a}$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 (2 - a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{3 \cdot 2 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 + 3 (- a)} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 81^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Reescreva $81$ como $3^{4}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot {(3^{4})}^{a + 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique os expoentes em ${(3^{4})}^{a + 1}$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 (a + 1)}) = 0$

Etapa 2.1.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4 \cdot 1}) = 0$

Etapa 2.1.3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - (3^{6 - 3 a} \cdot 3^{4 a + 4}) = 0$

Etapa 2.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{6 - 3 a + 4 a + 4} = 0$

Etapa 2.1.3.6

Some $6$ e $4$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{- 3 a + 4 a + 10} = 0$

Etapa 2.1.3.7

Some $- 3 a$ e $4 a$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- 3^{a + 10}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} - 3^{a + 10} \cdot \frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.3

Combine $- 3^{a + 10}$ e $\frac{9^{a + 1}}{9^{a + 1}}$ .

$\frac{1}{9^{a + 1}} + \frac{- 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{1^{3} - 3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.2

Reescreva $3^{a + 10} \cdot 9^{a + 1}$ como ${(3^{a + 4})}^{3}$ .

$\frac{1^{3} - {(3^{a + 4})}^{3}}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = 3^{a + 4}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1^{2} + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4

Simplifique.

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Etapa 2.5.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $3^{a + 4}$ por $1$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + {(3^{a + 4})}^{2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4.3

Multiplique os expoentes em ${(3^{a + 4})}^{2}$ .

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Etapa 2.5.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{(a + 4) \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{a \cdot 2 + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 \cdot a + 4 \cdot 2})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 2.5.4.3.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})}{9^{a + 1}} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8}) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $a$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ .

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Etapa 4.1.1

Expanda $(1 - 3^{a + 4}) (1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 \cdot 1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 \cdot 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3^{a + 4}$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 1 \cdot 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $3^{2 a + 8}$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 1 - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 1 \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.5

Reescreva $- 1 \cdot 3^{a + 4}$ como $- 3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $3^{a + 4}$ por $3^{a + 4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.6.1

Mova $3^{a + 4}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - (3^{a + 4} \cdot 3^{a + 4}) - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{a + 4 + a + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.6.3

Some $a$ e $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 4 + 4} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.6.4

Some $4$ e $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} \cdot 3^{2 a + 8} = 0$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $3^{a + 4}$ por $3^{2 a + 8}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.1.7.1

Mova $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - (3^{2 a + 8} \cdot 3^{a + 4}) = 0$

Etapa 4.1.2.1.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8 + a + 4} = 0$

Etapa 4.1.2.1.7.3

Some $2 a$ e $a$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 8 + 4} = 0$

Etapa 4.1.2.1.7.4

Some $8$ e $4$ .

$1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Etapa 4.1.2.2

Combine os termos opostos em $1 + 3^{a + 4} + 3^{2 a + 8} - 3^{a + 4} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12}$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $3^{a + 4}$ de $3^{a + 4}$ .

$1 + 0 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1 + 3^{2 a + 8} - 3^{2 a + 8} - 3^{3 a + 12} = 0$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $3^{2 a + 8}$ de $3^{2 a + 8}$ .

$1 + 0 - 3^{3 a + 12} = 0$

Etapa 4.1.2.2.4

Some $1$ e $0$ .

$1 - 3^{3 a + 12} = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3^{3 a + 12} = - 1$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $- 3^{3 a + 12} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $- 3^{3 a + 12} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 3^{3 a + 12}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{3^{3 a + 12}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.2.2

Divida $3^{3 a + 12}$ por $1$ .

$3^{3 a + 12} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$3^{3 a + 12} = 1$

Etapa 4.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{3 a + 12}) = \ln (1)$

Etapa 4.5

Expanda $\ln (3^{3 a + 12})$ movendo $3 a + 12$ para fora do logaritmo.

$(3 a + 12) \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 4.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 4.7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.7.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$3 a \ln (3) + 12 \ln (3) = 0$

Etapa 4.8

Subtraia $12 \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$

Etapa 4.9

Divida cada termo em $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ por $3 \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 4.9.1

Divida cada termo em $3 a \ln (3) = - 12 \ln (3)$ por $3 \ln (3)$ .

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 a \ln (3)}{3 \ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.2.2.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{- 12 \ln (3)}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.1

Fatore $3$ de $- 12 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 \ln (3)$ .

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$a = \frac{3 (- 4 \ln (3))}{3 \ln (3)}$

Etapa 4.9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 4.9.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.3.2.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 4.9.3.2.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$a = - 4$