Álgebra Exemplos

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) = \ln (x - 7)$

Etapa 1

Subtraia $\ln (x - 7)$ dos dois lados da equação.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7) = 0$

Etapa 2

Simplifique $\ln (x - 3) + \ln (x + 2) - \ln (x - 7)$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 2)) - \ln (x - 7) = 0$

Etapa 2.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 2)}{x - 7}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(x - 3) (x + 2) = e^{0} (x - 7)$

Etapa 5

Simplifique $e^{0} (x - 7)$ .

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Etapa 5.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = 1 (x - 7)$

Etapa 5.2

Multiplique $x - 7$ por $1$ .

$(x - 3) (x + 2) = x - 7$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$(x - 3) (x + 2) - x = - 7$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Expanda $(x - 3) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 2) - 3 (x + 2) - x = - 7$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2) - x = - 7$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Etapa 6.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Etapa 6.2.2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2 - x = - 7$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x - 3 x - 6 - x = - 7$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $3 x$ de $2 x$ .

$x^{2} - x - 6 - x = - 7$

Etapa 6.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = - 7$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = - 7 + 6$

Etapa 7.2

Some $- 7$ e $6$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Etapa 8

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Etapa 9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 9.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 10

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$