Álgebra Exemplos

$x^{8} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 3 x^{4} + 2 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{4}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{4}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 3 u + 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$(x^{4} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

Etapa 5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 8

Fatore.

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Etapa 8.1

Simplifique.

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Etapa 8.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore.

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Etapa 8.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Etapa 8.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{4} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 10

Defina $x^{4} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x^{4} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 2 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $x^{4} - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{4} = 2$

Etapa 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2}$

Etapa 10.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{2}$

Etapa 10.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{2}$

Etapa 10.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 11.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 12

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 13

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 13.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{4} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}, i, - i, - 1, 1$