Álgebra Exemplos

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (5 x) - \ln (x - 2)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) = \ln (\frac{5 x}{x - 2})$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $2 \ln (x) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2})$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 7) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7}) - \ln (\frac{5 x}{x - 2}) = 0$

Etapa 3.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 7}}{\frac{5 x}{x - 2}}) = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Etapa 3.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5 x}) = 0$

Etapa 3.1.5.2

Fatore $x$ de $5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Etapa 3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 5}) = 0$

Etapa 3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x}{2 x - 7} \cdot \frac{x - 2}{5}) = 0$

Etapa 3.1.6

Multiplique $\frac{x}{2 x - 7}$ por $\frac{x - 2}{5}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 7) \cdot 5}) = 0$

Etapa 3.1.7

Mova $5$ para a esquerda de $2 x - 7$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$

Etapa 4

Reescreva $\ln (\frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{5 (2 x - 7)}$

Etapa 5

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x (x - 2) = e^{0} (5 (2 x - 7))$

Etapa 6

Simplifique $e^{0} (5 (2 x - 7))$ .

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x (x - 2) = 1 (5 (2 x - 7))$

Etapa 6.1.2

Multiplique $5 (2 x - 7)$ por $1$ .

$x (x - 2) = 5 (2 x - 7)$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 2) = 5 (2 x) + 5 \cdot - 7$

Etapa 6.3

Multiplique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$x (x - 2) = 10 x + 5 \cdot - 7$

Etapa 6.3.2

Multiplique $5$ por $- 7$ .

$x (x - 2) = 10 x - 35$

Etapa 7

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $10 x$ dos dois lados da equação.

$x (x - 2) - 10 x = - 35$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Etapa 7.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 10 x = - 35$

Etapa 7.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 10 x = - 35$

Etapa 7.3

Subtraia $10 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Etapa 8

Fatore $x$ de $x^{2} - 12 x$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 12 x = - 35$

Etapa 8.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Etapa 8.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$x (x - 12) = - 35$

Etapa 9

Simplifique $x (x - 12)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 12 = - 35$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 12 = - 35$

Etapa 9.2.2

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 12 x = - 35$

Etapa 10

Some $35$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Etapa 11

Fatore $x^{2} - 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 11.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 7, - 5$

Etapa 11.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 13

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 13.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 14

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 14.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 5$