Álgebra Exemplos

$\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 2) (x + 3)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 2) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (x (x + 3) + 2 (x + 3)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\log_{6} (x^{2} + 3 x + 2 x + 6) = 1$

Etapa 1.3.2

Some $3 x$ e $2 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 6) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 6$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 5 x + 6 = 6^{1}$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = 6$

Etapa 3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x + 6 - 6 = 0$

Etapa 3.3

Combine os termos opostos em $x^{2} + 5 x + 6 - 6$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$x^{2} + 5 x + 0 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $x^{2} + 5 x$ e $0$ .

$x^{2} + 5 x = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 5 x = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 5 = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$x (x + 5) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.7

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 5$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{6} (x + 2) + \log_{6} (x + 3) = 1$ verdadeira.

$x = 0$