Álgebra Exemplos

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique $- 2 \log_{3} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $x^{3} + 2 x$ .

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Etapa 3.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Etapa 3.1.3.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

Etapa 3.1.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

Etapa 3.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Etapa 3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Etapa 3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

Etapa 4

Reescreva $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

Etapa 5

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

Etapa 6

Multiplique $3$ por $x$ .

$x^{2} + 2 = 3 x$

Etapa 7

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

Etapa 8

Fatore $x^{2} + 2 - 3 x$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 9

Simplifique $(x - 2) (x - 1)$ .

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Etapa 9.1

Expanda $(x - 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Etapa 10

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 13.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 1$