Álgebra Exemplos

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 2

Fatore $- 125$ de $- 125 x - 500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $- 125$ de $- 125 x$ .

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 2.2

Fatore $- 125$ de $- 500$ .

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 2.3

Fatore $- 125$ de $- 125 (x) - 125 (4)$ .

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 3

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2}$ de $23 x^{3}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Etapa 3.3

Fatore $x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Etapa 3.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Etapa 4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ e cuja soma é $b = 23$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Fatore $23$ de $23 x$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $23$ como $8$ mais $15$

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Etapa 4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Etapa 4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Etapa 4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Etapa 4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Etapa 5

Fatore $x + 4$ de $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $x + 4$ de $- 125 (x + 4)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Etapa 5.2

Fatore $x + 4$ de $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Etapa 5.3

Fatore $x + 4$ de $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ .

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Etapa 7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Etapa 8

Mova $15$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Etapa 9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Etapa 9.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Etapa 9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Etapa 9.3

Some $1$ e $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Etapa 10

Reordene os termos.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Etapa 11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Fatore $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 11.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Etapa 11.1.1.3

Substitua $- 5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 11.1.1.3.1

Substitua $- 5$ no polinômio.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Etapa 11.1.1.3.2

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Etapa 11.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Etapa 11.1.1.3.4

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Etapa 11.1.1.3.5

Multiplique $15$ por $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Etapa 11.1.1.3.6

Some $- 250$ e $375$ .

$125 - 125$

Etapa 11.1.1.3.7

Subtraia $125$ de $125$ .

$0$

Etapa 11.1.1.4

Como $- 5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Etapa 11.1.1.5

Divida $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ por $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Etapa 11.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Etapa 11.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 11.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 11.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Etapa 11.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} + 25 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Etapa 11.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Etapa 11.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Etapa 11.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 25 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Etapa 11.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Etapa 11.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 25 x - 125$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Etapa 11.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Etapa 11.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Etapa 11.1.1.6

Escreva $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Etapa 11.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Etapa 11.1.2.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 5$ mais $10$

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Etapa 11.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Etapa 11.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Etapa 11.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Etapa 11.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Etapa 11.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Etapa 12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Etapa 12.2

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Etapa 12.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Etapa 12.4

Some $1$ e $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$