Álgebra Exemplos

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} = \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ dos dois lados da equação.

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 49}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 7$ .

$\frac{14}{y + 7} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{14}{y + 7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.3

Para escrever $\frac{2}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14}{y + 7} \cdot \frac{y}{y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y + 7) y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{14}{y + 7}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2}{y} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{2}{y}$ por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{14 y}{(y + 7) y} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(y + 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y + 7)} + \frac{2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 y + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Fatore $2$ de $14 y + 2 (y + 7)$ .

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Etapa 2.6.1.1

Fatore $2$ de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.1.2

Fatore $2$ de $2 (7 y) + 2 (y + 7)$ .

$\frac{2 (7 y + y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.2

Some $7 y$ e $y$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.7

Para escrever $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.8

Para escrever $- \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Etapa 2.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (y + 7) (y - 7)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{2 (8 y + 7)}{y (y + 7)}$ por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $\frac{9 y - 7}{(y + 7) (y - 7)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Etapa 2.9.3

Reordene os fatores de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (8 y + 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (8 y) + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{(16 y + 2 \cdot 7) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(16 y + 14) (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4

Expanda $(16 y + 14) (y - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 y (y - 7) + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 (y - 7) - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 y \cdot y + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.11.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.5.1.1.1

Mova $y$ .

$\frac{16 (y \cdot y) + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{16 y^{2} + 16 y \cdot - 7 + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.2

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y + 14 \cdot - 7 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.3

Multiplique $14$ por $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 112 y + 14 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.2

Some $- 112 y$ e $14 y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - (9 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- (9 y) - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y - - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.8

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 + (- 9 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y \cdot y + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.10

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.10.1

Mova $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 (y \cdot y) + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.10.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{16 y^{2} - 98 y - 98 - 9 y^{2} + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.11

Subtraia $9 y^{2}$ de $16 y^{2}$ .

$\frac{7 y^{2} - 98 y - 98 + 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.12

Some $- 98 y$ e $7 y$ .

$\frac{7 y^{2} - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13

Reescreva $7 y^{2} - 91 y - 98$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.11.13.1

Fatore $7$ de $7 y^{2} - 91 y - 98$ .

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Etapa 2.11.13.1.1

Fatore $7$ de $7 y^{2}$ .

$\frac{7 (y^{2}) - 91 y - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.2

Fatore $7$ de $- 91 y$ .

$\frac{7 (y^{2}) + 7 (- 13 y) - 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.3

Fatore $7$ de $- 98$ .

$\frac{7 y^{2} + 7 (- 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.4

Fatore $7$ de $7 y^{2} + 7 (- 13 y)$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.5

Fatore $7$ de $7 (y^{2} - 13 y) + 7 \cdot - 14$ .

$\frac{7 (y^{2} - 13 y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2

Fatore $y^{2} - 13 y - 14$ usando o método AC.

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Etapa 2.11.13.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 14$ e cuja soma é $- 13$ .

$- 14, 1$

Etapa 2.11.13.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{7 ((y - 14) (y + 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (y - 14) (y + 1)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$7 (y - 14) (y + 1) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

$y + 1 = 0$

Etapa 4.2

Defina $y - 14$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $y - 14$ como igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $14$ aos dois lados da equação.

$y = 14$

Etapa 4.3

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $7 (y - 14) (y + 1) = 0$ verdadeiro.

$y = 14, - 1$