Álgebra Exemplos

$\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} = 3$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{12}{v^{2} - 16} - \frac{24}{v - 4} - 3$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{12}{v^{2} - 4^{2}} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = v$ e $b = 4$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} - 3 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{24}{v - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{v + 4}{v + 4}$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24}{v - 4} \cdot \frac{v + 4}{v + 4} - 3 = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(v + 4) (v - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{24}{v - 4}$ por $\frac{v + 4}{v + 4}$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24 (v + 4)}{(v - 4) (v + 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $(v - 4) (v + 4)$ .

$\frac{12}{(v + 4) (v - 4)} - \frac{24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 - 24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Fatore $12$ de $12 - 24 (v + 4)$ .

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Etapa 2.5.1.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{12 (1) - 24 (v + 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $12$ de $- 24 (v + 4)$ .

$\frac{12 (1) + 12 (- 2 (v + 4))}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $12$ de $12 (1) + 12 (- 2 (v + 4))$ .

$\frac{12 (1 - 2 (v + 4))}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 (1 - 2 v - 2 \cdot 4)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{12 (1 - 2 v - 8)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.5.4

Subtraia $8$ de $1$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} - 3 \cdot \frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 3$ e $\frac{(v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$\frac{12 (- 2 v - 7)}{(v + 4) (v - 4)} + \frac{- 3 ((v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 (- 2 v - 7) - 3 ((v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Fatore $3$ de $12 (- 2 v - 7) - 3 (v + 4) (v - 4)$ .

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Etapa 2.9.1.1

Fatore $3$ de $12 (- 2 v - 7)$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7)) - 3 (v + 4) (v - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.2

Fatore $3$ de $- 3 (v + 4) (v - 4)$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7)) + 3 (- (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.1.3

Fatore $3$ de $3 (4 (- 2 v - 7)) + 3 (- (v + 4) (v - 4))$ .

$\frac{3 (4 (- 2 v - 7) - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (4 (- 2 v) + 4 \cdot - 7 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{3 (- 8 v + 4 \cdot - 7 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $4$ por $- 7$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - (v + 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 8 v - 28 + (- v - 1 \cdot 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 + (- v - 4) (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7

Expanda $(- v - 4) (v - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v (v - 4) - 4 (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v \cdot v - v \cdot - 4 - 4 (v - 4))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v \cdot v - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.9.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.8.1.1

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.8.1.1.1

Mova $v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - (v \cdot v) - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8.1.1.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} - v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 4 v - 4 v - 4 \cdot - 4)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 4 v - 4 v + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8.2

Subtraia $4 v$ de $4 v$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 0 + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.8.3

Some $- v^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 (- 8 v - 28 - v^{2} + 16)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.9

Some $- 28$ e $16$ .

$\frac{3 (- 8 v - v^{2} - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.10

Reordene os termos.

$\frac{3 (- v^{2} - 8 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.9.11.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 2.9.11.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 v$ .

$\frac{3 (- v^{2} - 8 (v) - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11.1.2

Reescreva $- 8$ como $- 2$ mais $- 6$

$\frac{3 (- v^{2} + (- 2 - 6) v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- v^{2} - 2 v - 6 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.9.11.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 ((- v^{2} - 2 v) - 6 v - 12)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 (v (- v - 2) + 6 (- v - 2))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.9.11.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- v - 2$ .

$\frac{3 ((- v - 2) (v + 6))}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

$\frac{3 (- v - 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- v$ .

$\frac{3 (- (v) - 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (v) - 1 (2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- (v) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- (v + 2)$ como $- 1 (v + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(3 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 2.15

Reordene os fatores em $- \frac{(3 (v + 2)) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)}$ .

$- \frac{3 (v + 2) (v + 6)}{(v + 4) (v - 4)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (v + 2) (v + 6) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $v$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$v + 2 = 0$

$v + 6 = 0$

Etapa 4.2

Defina $v + 2$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $v + 2$ como igual a $0$ .

$v + 2 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$v = - 2$

Etapa 4.3

Defina $v + 6$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $v + 6$ como igual a $0$ .

$v + 6 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$v = - 6$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $3 (v + 2) (v + 6) = 0$ verdadeiro.

$v = - 2, - 6$