Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{2}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5.5

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Etapa 2.7

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.8.1

Multiplique $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{(x + 1) (x - 2) \cdot 2} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Etapa 2.8.3

Reordene os fatores de $(x + 1) (x - 2) \cdot 2$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 ((x + 1) (x - 2))} = 0$

Etapa 2.8.4

Reordene os fatores de $2 ((x + 1) (x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 2}{2 (x + 1) (x - 2)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 5) \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 2 - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x - 5 \cdot 2 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot x - 10 + (x + 1) (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.4

Expanda $(x + 1) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 10 + x (x - 2) + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 10 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.10.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.5.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.5.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.5.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - 2 x + x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.5.2

Some $- 2 x$ e $x$ .

$\frac{2 x - 10 + x^{2} - x - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.6

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 10 + x^{2} - 2}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.7

Subtraia $2$ de $- 10$ .

$\frac{x + x^{2} - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.8

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + x - 12}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 2.10.9

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.10.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.10.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{2 (x + 1) (x - 2)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$