Álgebra Exemplos

$x^{5} = x^{3} + 12 x$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$x^{5} - x^{3} = 12 x$

Etapa 1.2

Subtraia $12 x$ dos dois lados da equação.

$x^{5} - x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 2

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x = 0$

Etapa 2.3

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) = 0$

Etapa 3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) = 0$

Etapa 4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) = 0$

Etapa 5

Fatore $u^{2} - u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 8

Fatore.

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Etapa 8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) = 0$

Etapa 8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 10

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 11

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 13.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 13.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 13.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 13.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 13.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 13.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 13.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$