Álgebra Exemplos

$\frac{3 a^{2} - 13 a + 4}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e cuja soma é $b = - 13$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $- 13$ de $- 13 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 13 (a) + 4}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $- 13$ como $- 1$ mais $- 12$

$\frac{3 a^{2} + (- 1 - 12) a + 4}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 a^{2} - 1 a - 12 a + 4}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 a^{2} - 1 a) - 12 a + 4}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{a (3 a - 1) - 4 (3 a - 1)}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 a - 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{9 a^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $9 a^{2}$ como ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1^{2}} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

Etapa 2.4

Reescreva o polinômio.

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a)}^{2} - 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 3 a$ e $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a - 1)}^{2}} \cdot \frac{28 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 3

Fatore $7$ de $28 + 7 a$ .

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Etapa 3.1

Fatore $7$ de $28$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a - 1)}^{2}} \cdot \frac{7 \cdot 4 + 7 a}{a^{2} - 16}$

Etapa 3.2

Fatore $7$ de $7 \cdot 4 + 7 a$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a - 1)}^{2}} \cdot \frac{7 (4 + a)}{a^{2} - 16}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a - 1)}^{2}} \cdot \frac{7 (4 + a)}{a^{2} - 4^{2}}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = a$ e $b = 4$ .

$\frac{(3 a - 1) (a - 4)}{{(3 a - 1)}^{2}} \cdot \frac{7 (4 + a)}{(a + 4) (a - 4)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{(3 a - 1) (a - 4) (7 (4 + a))}{{(3 a - 1)}^{2} ((a + 4) (a - 4))}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $3 a - 1$ e ${(3 a - 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 a - 1$ de $(3 a - 1) (a - 4) (7 (4 + a))$ .

$\frac{(3 a - 1) ((a - 4) (7 (4 + a)))}{{(3 a - 1)}^{2} ((a + 4) (a - 4))}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $3 a - 1$ de ${(3 a - 1)}^{2} ((a + 4) (a - 4))$ .

$\frac{(3 a - 1) ((a - 4) (7 (4 + a)))}{(3 a - 1) ((3 a - 1) ((a + 4) (a - 4)))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 a - 1) ((a - 4) (7 (4 + a)))}{(3 a - 1) ((3 a - 1) ((a + 4) (a - 4)))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(a - 4) (7 (4 + a))}{(3 a - 1) ((a + 4) (a - 4))}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $a - 4$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(a - 4) (7 (4 + a))}{(3 a - 1) ((a + 4) (a - 4))}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 (4 + a)}{(3 a - 1) (a + 4)}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $4 + a$ e $a + 4$ .

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Etapa 5.4.1

Reordene os termos.

$\frac{7 (a + 4)}{(3 a - 1) (a + 4)}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 (a + 4)}{(3 a - 1) (a + 4)}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{3 a - 1}$