Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $3$ .

$1, 2$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Etapa 4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Combine.

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x + 1) (x + 2))}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $x + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique $x + 1$ por ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x + 1)}^{1 + 2} (x + 2)}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{3} (x + 2)}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{3}$ e $x + 1$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{3} (x + 2)$ .

$\frac{(x + 1) ({(x + 1)}^{2} (x + 2))}{(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) ({(x + 1)}^{2} (x + 2))}{(x + 1) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) ({(x + 1)}^{2} (x + 2))}{(x + 1) ((x - 1) {(x + 2)}^{2})}$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 2)}{(x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{2}}{(x - 1) {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.1

Fatore $x + 2$ de $(x - 1) {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{2}}{(x + 2) ((x - 1) (x + 2))}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) {(x + 1)}^{2}}{(x + 2) ((x - 1) (x + 2))}$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 1) (x + 2)}$