Álgebra Exemplos

$y = \ln (x - 2)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \ln (y - 2)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\ln (y - 2) = x$ .

$\ln (y - 2) = x$

Etapa 2.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x}$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (y - 2) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 2$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $y - 2 = e^{x}$ .

$y - 2 = e^{x}$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = e^{x} + 2$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ é o inverso de $f (x) = \ln (x - 2)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (x - 2))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Etapa 4.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x - 2 + 2$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (e^{x} + 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln ((e^{x} + 2) - 2)$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(e^{x} + 2) - 2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x} + 0)$

Etapa 4.3.3.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (e^{x} + 2) = x \ln (e)$

Etapa 4.3.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ é o inverso de $f (x) = \ln (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$