Álgebra Exemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 2 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 2 \cdot 1 - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + 2 - 7 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 2 - 7 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$1 + 2 - 7 - 8 \cdot 1 + 12$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$1 + 2 - 7 - 8 + 12$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $1$ e $2$ .

$3 - 7 - 8 + 12$

Etapa 4.2.2

Subtraia $7$ de $3$ .

$- 4 - 8 + 12$

Etapa 4.2.3

Subtraia $8$ de $- 4$ .

$- 12 + 12$

Etapa 4.2.4

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$
	$1$	$3$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$
	$1$	$3$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$
	$1$	$3$	$- 4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$
	$1$	$3$	$- 4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 12)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$2$	$- 7$	$- 8$	$12$
		$1$	$3$	$- 4$	$- 12$
	$1$	$3$	$- 4$	$- 12$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (- 4) x - 12$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$

Etapa 7

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$

$(x - 1) x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3)$

Etapa 8

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x - 1) (x + 3) (x^{2} - 4)$

Etapa 9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x + 3) (x^{2} - 2^{2})$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) + (x + 3) ((x + 2) (x - 2))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) + (x + 3) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 3) (x + 2) (x - 2)$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 11.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} + 2 x^{3}$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 11.2.2

Fatore $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 2 - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 11.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot 2$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 11.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 7 \cdot 12 = - 84$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 11.3.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Etapa 11.3.1.2

Reescreva $- 8$ como $6$ mais $- 14$

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + (6 - 14) x + 12 = 0$

Etapa 11.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + 6 x - 14 x + 12 = 0$

Etapa 11.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{3} (x + 2) - 7 x^{2} + 6 x - 14 x + 12 = 0$

Etapa 11.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x + 2) + x (- 7 x + 6) + 2 (- 7 x + 6) = 0$

Etapa 11.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 7 x + 6$ .

$x^{3} (x + 2) + (- 7 x + 6) (x + 2) = 0$

Etapa 11.4

Fatore $x + 2$ de $x^{3} (x + 2) + (- 7 x + 6) (x + 2)$ .

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Etapa 11.4.1

Fatore $x + 2$ de $x^{3} (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (- 7 x + 6) (x + 2) = 0$

Etapa 11.4.2

Fatore $x + 2$ de $(- 7 x + 6) (x + 2)$ .

$(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x + 6) = 0$

Etapa 11.4.3

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) x^{3} + (x + 2) (- 7 x + 6)$ .

$(x + 2) (x^{3} - 7 x + 6) = 0$

Etapa 11.5

Fatore.

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Etapa 11.5.1

Reescreva $x^{3} - 7 x + 6$ em uma forma fatorada.

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Etapa 11.5.1.1

Fatore $x^{3} - 7 x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 11.5.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 11.5.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 11.5.1.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 11.5.1.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 7 \cdot 1 + 6$

Etapa 11.5.1.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 7 \cdot 1 + 6$

Etapa 11.5.1.1.3.3

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$1 - 7 + 6$

Etapa 11.5.1.1.3.4

Subtraia $7$ de $1$ .

$- 6 + 6$

Etapa 11.5.1.1.3.5

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 11.5.1.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 7 x + 6}{x - 1}$

Etapa 11.5.1.1.5

Divida $x^{3} - 7 x + 6$ por $x - 1$ .

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Etapa 11.5.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6$

Etapa 11.5.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$

Etapa 11.5.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 11.5.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 11.5.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 11.5.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 11.5.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 11.5.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 11.5.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 11.5.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$

Etapa 11.5.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.5.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.5.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.5.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x + 6$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 11.5.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$7 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$7 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 11.5.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x - 6$

Etapa 11.5.1.1.6

Escreva $x^{3} - 7 x + 6$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) ((x - 1) (x^{2} + x - 6)) = 0$

Etapa 11.5.1.2

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 11.5.1.2.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 11.5.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 11.5.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) ((x - 1) ((x - 2) (x + 3))) = 0$

Etapa 11.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) ((x - 1) (x - 2) (x + 3)) = 0$

Etapa 11.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 13

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 14

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 14.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 15

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 15.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 15.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 16

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 16.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 17

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 1, 2, - 3$

Etapa 18