Álgebra Exemplos

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ dos dois lados da equação.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{14}{y - 7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.3

Para escrever $- \frac{2}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - 7) y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{14}{y - 7}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{2}{y}$ por $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.4.3

Reordene os fatores de $(y - 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Fatore $2$ de $14 y - 2 (y - 7)$ .

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Etapa 2.6.1.1

Fatore $2$ de $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (y - 7)$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.1.3

Fatore $2$ de $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ .

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.6.4

Subtraia $y$ de $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.7

Para escrever $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.8

Para escrever $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Etapa 2.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (y - 7) (y + 7)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ por $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Etapa 2.9.3

Reordene os fatores de $y (y - 7) (y + 7)$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Etapa 2.9.4

Reordene os fatores de $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4

Expanda $(12 y + 14) (y + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.11.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.11.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.5.1.1

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.5.1.1.1

Mova $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.1.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.2

Multiplique $7$ por $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.1.3

Multiplique $14$ por $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.5.2

Some $84 y$ e $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.7

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.8

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.10

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.11.10.1

Mova $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.10.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.11

Subtraia $19 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.12

Subtraia $7 y$ de $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13

Reescreva $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ em uma forma fatorada.

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Etapa 2.11.13.1

Fatore $7$ de $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ .

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Etapa 2.11.13.1.1

Fatore $7$ de $- 7 y^{2}$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.2

Fatore $7$ de $91 y$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.3

Fatore $7$ de $98$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.4

Fatore $7$ de $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.1.5

Fatore $7$ de $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.11.13.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ e cuja soma é $b = 13$ .

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Etapa 2.11.13.2.1.1

Fatore $13$ de $13 y$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2.1.2

Reescreva $13$ como $- 1$ mais $14$

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.11.13.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.11.13.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.14

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.15

Reescreva $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 2.17

Reordene os fatores em $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ .

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Etapa 4.2

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 4.3

Defina $y - 14$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $y - 14$ como igual a $0$ .

$y - 14 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $14$ aos dois lados da equação.

$y = 14$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ verdadeiro.

$y = - 1, 14$