Álgebra Exemplos

$4 k^{\frac{4}{3}} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Etapa 1

Reescreva $k^{\frac{4}{3}}$ como ${(k^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

$4 {(k^{\frac{2}{3}})}^{2} - 65 k^{\frac{2}{3}} + 16 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = k^{\frac{2}{3}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $k^{\frac{2}{3}}$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 16 = 64$ e cuja soma é $b = - 65$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $- 65$ de $- 65 u$ .

$4 u^{2} - 65 u + 16 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 65$ como $- 1$ mais $- 64$

$4 u^{2} + (- 1 - 64) u + 16 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 64 u + 16 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 64 u + 16 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - 16 (4 u - 1) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 16) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $k^{\frac{2}{3}}$ .

$(4 k^{\frac{2}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Etapa 5

Reescreva $4 k^{\frac{2}{3}}$ como ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Etapa 6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 k^{\frac{1}{3}}$ e $b = 1$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{2}{3}} - 16) = 0$

Etapa 8

Reescreva $k^{\frac{2}{3}}$ como ${(k^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16) = 0$

Etapa 9

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ({(k^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Etapa 10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = k^{\frac{1}{3}}$ e $b = 4$ .

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) ((k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4)) = 0$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Etapa 12

Defina $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $2 k^{\frac{1}{3}} + 1$ como igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $2 k^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 k^{\frac{1}{3}} = - 1$

Etapa 12.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1

Simplifique ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$8 k^{1} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.1.1.4

Simplifique.

$8 k = {(- 1)}^{3}$

Etapa 12.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$8 k = - 1$

Etapa 12.2.4

Divida cada termo em $8 k = - 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Divida cada termo em $8 k = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 12.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 k}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 12.2.4.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{- 1}{8}$

Etapa 12.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$k = - \frac{1}{8}$

Etapa 13

Defina $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $2 k^{\frac{1}{3}} - 1$ como igual a $0$ .

$2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 k^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 k^{\frac{1}{3}} = 1$

Etapa 13.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.1

Simplifique ${(2 k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 k^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 {(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$8 k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$8 k^{1} = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.1.1.4

Simplifique.

$8 k = 1^{3}$

Etapa 13.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 k = 1$

Etapa 13.2.4

Divida cada termo em $8 k = 1$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Divida cada termo em $8 k = 1$ por $8$ .

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 13.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 k}{8} = \frac{1}{8}$

Etapa 13.2.4.2.1.2

Divida $k$ por $1$ .

$k = \frac{1}{8}$

Etapa 14

Defina $k^{\frac{1}{3}} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $k^{\frac{1}{3}} + 4$ como igual a $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Etapa 14.2

Resolva $k^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$k^{\frac{1}{3}} = - 4$

Etapa 14.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Etapa 14.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1.1

Simplifique ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Etapa 14.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Etapa 14.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$k^{1} = {(- 4)}^{3}$

Etapa 14.2.3.1.1.2

Simplifique.

$k = {(- 4)}^{3}$

Etapa 14.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$k = - 64$

Etapa 15

Defina $k^{\frac{1}{3}} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Defina $k^{\frac{1}{3}} - 4$ como igual a $0$ .

$k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Etapa 15.2

Resolva $k^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ para $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$k^{\frac{1}{3}} = 4$

Etapa 15.2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(k^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Etapa 15.2.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1

Simplifique ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(k^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Etapa 15.2.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$k^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Etapa 15.2.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$k^{1} = 4^{3}$

Etapa 15.2.3.1.1.2

Simplifique.

$k = 4^{3}$

Etapa 15.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.2.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$k = 64$

Etapa 16

A solução final são todos os valores que tornam $(2 k^{\frac{1}{3}} + 1) (2 k^{\frac{1}{3}} - 1) (k^{\frac{1}{3}} + 4) (k^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ verdadeiro.

$k = - \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, - 64, 64$