Álgebra Exemplos

$e^{x} - 3 = - e^{- x}$

Etapa 1

Some $e^{- x}$ aos dois lados da equação.

$e^{x} - 3 + e^{- x} = 0$

Etapa 2

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} - 3 + {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u - 3 + u^{- 1} = 0$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3 + \frac{1}{u} = 0$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, u, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $u - 3 + \frac{1}{u} = 0$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $u - 3 + \frac{1}{u} = 0$ por $u$ .

$u \cdot u - 3 u + \frac{1}{u} u = 0 u$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - 3 u + \frac{1}{u} u = 0 u$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} - 3 u + \frac{1}{u} u = 0 u$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 3 u + 1 = 0 u$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $0$ por $u$ .

$u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 5.3.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

Etapa 8

Substitua $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 9.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 9.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}), \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}), \ln (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

Forma decimal:

$x = 0.96242365 \dots, - 0.96242365 \dots$