Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{y^{2} - x^{2}}$

Etapa 1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{2}{x - y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{2}{x - y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{3}{x + y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - y) (x + y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{x - y}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{x + y}$ por $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{2 (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x + y) + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 y + 3 (x - y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 y + 3 x + 3 (- y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x + 2 y + 3 x - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 6.4

Some $2 x$ e $3 x$ .

$\frac{5 x + 2 y - 3 y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 6.5

Subtraia $3 y$ de $2 y$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{y - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - x} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 7.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y) - (x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 7.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (- y + x)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 8

Para escrever $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 9

Para escrever $- \frac{5}{- 1 (x - y)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{5 x - y}{(x + y) (x - y)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5}{- 1 (x - y)} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{5}{- 1 (x - y)}$ por $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 10.3

Reordene os fatores de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- 1 (x - y) (x + y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 10.4

Reordene os fatores de $- 1 (x - y) (x + y)$ .

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(5 x - y) \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x \cdot - 1 - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 x - y \cdot - 1 - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.3

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 12.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 x + 1 y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{- 5 x + y - 5 (x + y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 5 x + y - 5 x - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.5

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 10 x + y - 5 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.6

Subtraia $5 y$ de $y$ .

$\frac{- 10 x - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.7

Fatore $2$ de $- 10 x - 4 y$ .

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Etapa 12.1.7.1

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x) - 4 y}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.7.2

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.1.7.3

Fatore $2$ de $2 (- 5 x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(y + x) (y - x)}$

Etapa 13

Simplifique com fatoração.

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Etapa 13.1

Reordene os termos.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (y - x)}$

Etapa 13.2

Fatore $- 1$ de $y$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - x)}$

Etapa 13.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y) - (x))}$

Etapa 13.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (- y) - (x)$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (- y + x))}$

Etapa 13.5

Reordene os termos.

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Etapa 14

Para escrever $- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Etapa 15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{2 (- 5 x - 2 y)}{(x + y) (x - y)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{(x + y) (x - y) \cdot - 1} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Etapa 15.2

Reordene os fatores de $(x + y) (x - y) \cdot - 1$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{(x + y) (- 1 (x - y))}$

Etapa 15.3

Reordene os fatores de $(x + y) (- 1 (x - y))$ .

$- \frac{2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1}{- (x + y) (x - y)} - \frac{7 x - 9 y}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.1

Fatore $- 1$ de $- 2 (- 5 x - 2 y) \cdot - 1 - (7 x - 9 y)$ .

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Etapa 17.1.1

Mova $- 5 x - 2 y$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.1.2

Fatore $- 1$ de $- 2 \cdot - 1 (- 5 x - 2 y)$ .

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.1.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 (- 5 x - 2 y)) - (7 x - 9 y)$ .

$\frac{- (- 2 (- 5 x - 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (- 2 (- 5 x) - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.3

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$\frac{- (10 x - 2 (- 2 y) + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{- (10 x + 4 y + 7 x - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.5

Some $10 x$ e $7 x$ .

$\frac{- (17 x + 4 y - 9 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 17.6

Subtraia $9 y$ de $4 y$ .

$\frac{- (17 x - 5 y)}{- (x + y) (x - y)}$

Etapa 18

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{17 x - 5 y}{(x + y) (x - y)}$