Álgebra Exemplos

$3 x^{4} + 10 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} - 25 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$3 u^{2} + 10 u - 25 = 0$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ e cuja soma é $b = 10$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $10$ de $10 u$ .

$3 u^{2} + 10 (u) - 25 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $10$ como $- 5$ mais $15$

$3 u^{2} + (- 5 + 15) u - 25 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} - 5 u + 15 u - 25 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} - 5 u) + 15 u - 25 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (3 u - 5) + 5 (3 u - 5) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 5$ .

$(3 u - 5) (u + 5) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 5) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 6

Defina $3 x^{2} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $3 x^{2} - 5$ como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 5 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $3 x^{2} - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 5$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{3}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.2.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.2.4.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 6.2.4.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 6.2.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.2.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.2.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.2.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.2.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.2.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 6.2.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6.2.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Etapa 6.2.4.4.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 6.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 6.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 6.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Etapa 7

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x^{2} + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 5$

Etapa 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 7.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 7.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 7.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{5}$

Etapa 7.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{5}$

Etapa 7.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x^{2} - 5) (x^{2} + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$