Álgebra Exemplos

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

Etapa 4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

Etapa 5

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

Etapa 6

Reescreva $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 2 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

Etapa 7.2

Subtraia $e^{3}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

Etapa 7.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - e^{3}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3

Reescreva $4 + 4 e^{3}$ como $2^{2} (1 + e^{3})$ .

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Etapa 7.5.1.3.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.5

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.7

Simplifique.

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Etapa 7.5.1.7.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.1.7.2

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

Etapa 7.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Etapa 7.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ verdadeira.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Forma decimal:

$x = 3.59189905 \dots$