Álgebra Exemplos

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

Etapa 2.1.1.2

Simplifique $3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

Etapa 2.1.3

Mova $8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\ln (8 x^{2}) = 5$

Etapa 3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

Etapa 4

Reescreva $\ln (8 x^{2}) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = 8 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $8 x^{2} = e^{5}$ .

$8 x^{2} = e^{5}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $8 x^{2} = e^{5}$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $8 x^{2} = e^{5}$ por $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

Etapa 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

Etapa 5.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.2.1

Reescreva $e^{5}$ como ${(e^{2})}^{2} e$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Fatore $e^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva $e^{4}$ como ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

Etapa 5.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.3.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 5.4.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 5.4.4

Multiplique $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.5.1

Multiplique $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.4.5.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 5.4.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 5.4.5.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 5.4.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.4.5.6

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.4.5.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 5.4.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.4.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.4.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 5.4.5.7.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.4.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.4.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ verdadeira.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Forma decimal:

$x = 4.30716204 \dots$